Question

18．圓O：x²+y²=16與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），l₁，l₂是分別過A、B點(diǎn)的圓O的切線，過此圓上的另一個(gè)點(diǎn)P（P點(diǎn)是圓上任一不與A，B重合的動(dòng)點(diǎn)）作此圓的切線，分別交l₁、l₂于C，D兩點(diǎn)，且AD，BC兩直線交于點(diǎn)M．
（1）設(shè)切點(diǎn)P坐標(biāo)為（x₀，y₀），求證：切線CD的方程為x₀x+y₀y=16；
（2）設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（m，n），試寫出m²與n²的關(guān)系表達(dá)式（寫出詳細(xì)推理與計(jì)算過程）；
（3）判斷是否存在點(diǎn)Q（a，0）（a＞0），使得|$\overrightarrow{QM}$|的最小值為$\frac{\sqrt{7}}{2}$？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線CD上任意一點(diǎn)N（x，y），則$\overrightarrow{OP}⊥\overrightarrow{PN}$，由此即可證明切線CD的方程為x₀x+y₀y=16；
（2）求出m，n，即可寫出m²與n²的關(guān)系表達(dá)式；
（3）|QM|的最小值=|y_M|=2|sinu|=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，由此即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：設(shè)直線CD上任意一點(diǎn)N（x，y），則$\overrightarrow{OP}⊥\overrightarrow{PN}$，
∴（x₀，y₀）•（x-x₀，y-y₀）=0，
∴x₀（x-x₀）+y₀（y-y₀）=0，
∵x₀²+y²₀=16，
∴x₀x+y₀y=16；
（2）解：圓O：x²+y²=16與x軸交于A（-4，0）、B（4，0），l₁、l₂是分別過A、B點(diǎn)的圓O的切線，
∴l(xiāng)₁：x=-4，l₂：x=4．
設(shè)P（4cosu，4sinu），過P的圓O的切線方程是xcosu+ysinu=4，
這切線交l₁于C（-4，$\frac{4+4cosu}{sinu}$），交l₂于D（4，$\frac{4-4cosu}{sinu}$），
AD的斜率=$\frac{1-cosu}{2sinu}$，BC的斜率=-$\frac{1+cosu}{2sinu}$，
AD：y=$\frac{1-cosu}{2sinu}$（x+4），BC：y=-$\frac{1+cosu}{2sinu}$（x-4），解得x_M=4cosu，y_M=2sinu，
∴m=4cosu，n=2sinu，
∴$\frac{{m}^{2}}{16}+\frac{{n}^{2}}{4}=1$．
（3）解：|QM|的最小值=|y_M|=2|sinu|=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，∴|sinu|=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∴sinu=±$\frac{\sqrt{7}}{4}$，cosu=±$\frac{3}{4}$．此時(shí)QM⊥x軸，a=x_M=±3，∴Q（±3，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的切線方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．