已知等比數(shù)列{an}共有m項(xiàng) ( m≥3 ),且各項(xiàng)均為正數(shù),a1=1,a1+a2+a3=7.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an
(2)若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,且b1=a1,bm=am,判斷數(shù)列{an}前m項(xiàng)的和Sm與數(shù)列{bn-
12
}
的前m項(xiàng)和Tm的大小并加以證明.
分析:(1)根據(jù)所給的數(shù)列首項(xiàng)和前三項(xiàng)之和,整理出關(guān)于公比q的一元二次方程,解方程得到兩個(gè)解,舍去負(fù)解,寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng).
(2)由an=2n-1S m=2m-1,數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,b1=a1=1,bm=am=2m-1,而Tm=(b1-
1
2
)+(b2-
1
2
)+(b3-
1
2
)+…+(bm-
1
2
)=(b1+b2+b3+…+bm)-
m
2
=
1+2m-1
2
m-
m
2
=
2m-1
2
m=m•2m-2,利用Tm-Sm=m•2m-2-(2m-1)=(m-4)2m-2+1,即可得到結(jié)論.
解答:解:(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則1+q+q2=7,
∴q=2或q=-3
∵{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),∴q=2                             
所以an=2n-1
(2)由an=2n-1S m=2m-1
數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,b1=a1=1,bm=am=2m-1
而Tm=(b1-
1
2
)+(b2-
1
2
)+(b3-
1
2
)+…+(bm-
1
2
)=(b1+b2+b3+…+bm)-
m
2

=
1+2m-1
2
m-
m
2
=
2m-1
2
m=m•2m-2
∵Tm-Sm=m•2m-2-(2m-1)=(m-4)2m-2+1
∴當(dāng)m=3時(shí),T3-S3=-1,∴T3<S3
∴當(dāng)m≥4時(shí),Tm>Sm
點(diǎn)評(píng):本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查數(shù)列的求和,同時(shí)考查作差法,大小比較,解題的關(guān)鍵是數(shù)列中基本量的運(yùn)算,屬于中檔題.
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}的前n項(xiàng)和Sn

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3
3

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12
,則n=
9
9

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