Question

【題目】在如圖所示的多面體中，平面平面，四邊形為邊長為2的菱形， 為直角梯形，四邊形為平行四邊形，且， ， .

（1）若， 分別為， 的中點(diǎn)，求證： 平面；

（2）若， 與平面所成角的正弦值為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析：（1）第（1）問，轉(zhuǎn)化成證明平面 ,再轉(zhuǎn)化成證明和.(2)第（2）問，先利用幾何法找到與平面所成角，再根據(jù)與平面所成角的正弦值為求出再建立空間直角坐標(biāo)系，求出二面角的余弦值.

試題解析：

（1）連接,因?yàn)樗倪呅?/span>為菱形，所以.

因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面， 平面， ，所以平面.

又平面，所以.

因?yàn)?/span>，所以.

因?yàn)?/span>，所以平面.

因?yàn)?/span>分別為， 的中點(diǎn)，所以，所以平面

（2）設(shè)，由（1）得平面.

由， ，得， .

過點(diǎn)作，與的延長線交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接， ，如圖所示，

又，所以為等邊三角形，所以，又平面平面，平面平面， 平面，故平面.

因?yàn)?/span>為平行四邊形，所以，所以平面.

又因?yàn)?/span>，所以平面.

因?yàn)?/span>，所以平面平面.

由（1），得平面，所以平面，所以.

因?yàn)?/span>，所以平面，所以是與平面所成角.

因?yàn)?/span>， ，所以平面， 平面，因?yàn)?/span>，所以平面平面.

所以， ，解得.

在梯形中，易證，分別以， ， 的正方向?yàn)?/span>軸， 軸， 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.

則， ， ， ， ， ，

由，及，得，所以， ， .

設(shè)平面的一個法向量為，由得令，得m=(3,1,2)

設(shè)平面的一個法向量為，由得令，得.

所以

又因?yàn)槎�面�?/span>是鈍角，所以二面角的余弦值是.