Question

【題目】四邊形ABCD為矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC，F為CE上的點，且BF⊥平面ACE．

（1）求證：AE⊥BE；

（2）設(shè)M在線段AB上，且滿足AM=2MB，試在線段CE上確定一點N，使得MN∥平面DAE．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）N點為線段CE上靠近C點的一個三等分點．

【解析】試題分析：（1）由和平面，證明，再由平面得，根據(jù)線面垂直的判定定理證出平面，即證出；（2）在中過點作交于點，在中過點作交于點，連，證明平面平面，可得平面，從而可得結(jié)論.

試題解析：

證明：（1）∵BF⊥平面ACE，AE平面ACE，

∴BF⊥AE，BF⊥CE，

∵EB=BC，∴F是CE的中點，

又∵AD⊥平面ABE，AD平面ABCD，

∴平面ABCD⊥平面ABE，

∵平面ABCD∩平面ABE=AB，BC⊥AB

∴BC⊥平面ABE，

從而BC⊥AE，且BC∩BF=B，

∴AE⊥平面BCE，BE平面BCE，

∴AE⊥BE；

（2）在△ABE中過M點作MG∥AE交BE于G點，

在△BEC中過G點作GN∥BC交EC于N點，連MN，

∴CN=CE．

∵MG∥AE，MG平面ADE，AE平面ADE，

∴MG∥平面ADE．

同理，GN∥平面ADE，且MG與GN交于G點，

∴平面MGN∥平面ADE．

又MN平面MGN，

∴MN∥平面ADE．

故N點為線段CE上靠近C點的一個三等分點．

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、直線和平面垂直的判定定理，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面.