【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx+(e﹣a)x﹣b,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若不等式f(x)≤0恒成立,則 的最小值為

【答案】﹣
【解析】解:∵函數(shù)f(x)=lnx+(e﹣a)x﹣b,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù), ∴ ,x>0,
當(dāng)a≤e時(shí),f′(x)>0,
f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),∴f(x)≤0不可能恒成立,
當(dāng)a>e時(shí),由 ,得x= ,
∵不等式f(x)≤0恒成立,∴f(x)的最大值為0,
當(dāng)x∈(0, )時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,
當(dāng)x∈( ,+∞)時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,
∴當(dāng)x= 時(shí),f(x)取最大值,
f( )=﹣ln(a﹣e)﹣b﹣1≤0,
∴l(xiāng)n(a﹣e)+b+1≥0,
∴b≥﹣1﹣ln(a﹣e),
(a>e),
令F(x)= ,x>e,
F′(x)= =
令H(x)=(x﹣e)ln(x﹣e)﹣e,
H′(x)=ln(x﹣e)+1,
由H′(x)=0,得x=e+ ,
當(dāng)x∈(e+ ,+∞)時(shí),H′(x)>0,H(x)是增函數(shù),
x∈(e,e+ )時(shí),H′(x)<0,H(x)是減函數(shù),
∴當(dāng)x=e+ 時(shí),H(x)取最小值H(e+ )=﹣e﹣
∵x→e時(shí),H(x)→0,x>2e時(shí),H(x)>0,H(2e)=0,
∴當(dāng)x∈(e,2e)時(shí),F(xiàn)′(x)<0,F(xiàn)(x)是減函數(shù),
當(dāng)x∈(2e,+∞)時(shí),F(xiàn)′(x)>0,F(xiàn)(x)是增函九,
∴x=2e時(shí),F(xiàn)(x)取最小值,F(xiàn)(2e)= =﹣
的最小值為﹣
故答案為:﹣
求出 ,x>0,當(dāng)a≤e時(shí),f′(x)>0,f(x)≤0不可能恒成立,當(dāng)a>e時(shí),由 ,得x= ,由題意當(dāng)x= 時(shí),f(x)取最大值0,推導(dǎo)出 (a>e),令F(x)= ,x>e,F(xiàn)′(x)= ,令H(x)=(x﹣e)ln(x﹣e)﹣e,H′(x)=ln(x﹣e)+1,由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出 的最小值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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