Question

（2009•濱州一模）已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和胃S_n，公差d≠0，且S₃+S₅=50，a₁，a₄，a₁₃成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若從數(shù)列{a_n}中依次取出第2項、第4項、第8項，…，第2ⁿ項，…，按原來順序組成一個新數(shù)列{b_n}，記該數(shù)列的前n項和為T_n，求T_n的表達式．

Answer 1

分析：（1）設出等差數(shù)列的公差為d，利用S₃+S₅=50，a₁，a₄，a₁₃成等比數(shù)列，建立方程，求出首項與公差，即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）確定新數(shù)列{b_n}的通項，利用分組求和，即可求T_n的表達式．

解答：解：（1）設等差數(shù)列的公差為d，則
∵S₃+S₅=50，a₁，a₄，a₁₃成等比數(shù)列，
∴3a₁+3d+5a₁+10d=50，（a₁+3d）²=a₁（a₁+12d）
∵公差d≠0，∴a₁=3，d=2
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=2n+1；
（2）據(jù)題意得b_n=a2n=2×2ⁿ+1．
∴數(shù)列{b_n}的前n項和公式：T_n=（2×2+1）+（2×2²+1）+…+（2×2ⁿ+1）=2×（2+2²+…+2ⁿ）+n=2×

2(1-2n)

1-2

+n=2ⁿ⁺²+n-4．

點評：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查由等差數(shù)列的性質(zhì)求其通項，考查利用分組求和的技巧求新數(shù)列的和，其特征是一個數(shù)列的通項如果一個等差數(shù)列的項與一個等比數(shù)列的項，則可以采用分組的方法求和．