Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（2-x），0≤x＜k}\\{{x}^{3}-3{x}^{2}+3，k≤x≤a}\end{array}\right.$，若存在實(shí)數(shù)k使得函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-1，1]，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2，1+$\sqrt{3}$]．

Answer 1

分析 由于y=log₂（2-x）在[0，k）上是遞減函數(shù)，再由函數(shù)f（x）的值域是[-1，1]，得到k的范圍，再由y=x³-3x²+3的圖象，結(jié)合函數(shù)的值域[-1，1]，從而得到a的取值范圍．

解答 解：由于y=log₂（2-x）在[0，k）上是遞減函數(shù)，
且x=0時(shí)，y=1，x=$\frac{3}{2}$時(shí)，y=-1，故0＜k≤$\frac{3}{2}$，
畫(huà)出函數(shù)f（x）的圖象，令x³-3x²+3=1，解得x=1，1+$\sqrt{3}$，1-$\sqrt{3}$（舍去），
令g（x）=x³-3x²+3，則g′（x）=3x²-6x，
由g′（x）=0，得x=0或x=2．
∴當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)g（x）有極小值-1．
由于存在k使得函數(shù)f（x）的值域是[-1，1]，
故a的取值范圍是[2，1+$\sqrt{3}$]．
故答案為[2，1+$\sqrt{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的圖象和應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性和值域，考查數(shù)形結(jié)合的能力，屬于中檔題．