Question

在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c．若cosB=

1

4

，

sinC

sinA

=2，且S△ABC=

15

4

，則邊a=（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：根據正弦定理結合

sinC

sinA

=2得c=2a，再用余弦定理b²=a²+c²-2accosB的式子，解出b=2a．用同角三角函數的基本關系，算出sinB=

15

4

，最后利用正弦定理的面積公式建立關系式得

1

2

acsinB=

15

4

，即可解出a=1．

解答：解：∵

sinC

sinA

=2，∴由正弦定理，得

c

a

=2，即c=2a
∵cosB=

1

4

，∴由余弦定理，得b²=a²+c²-2accosB，
即b²=a²+4a²-4a²×

1

4

，解之得b=2a
由同角三角函數基本關系，得sinB=

1-cos2B

=

15

4

∵S△ABC=

15

4

∴

1

2

×a×csinB=

15

4

，即

1

2

×a×2a×

15

4

=

15

4

，解之得a=1
故選：A

點評：本題給出三角形ABC的邊a、c之比，在已知B的余弦和三角形面積情況下求邊a的長．著重考查了正弦定理的面積公式、余弦定理和同角三角函數基本關系等知識，屬于中檔題．