Question

5．已知函數(shù)f（x）=xlnx-$\frac{3}{2}$ax²+$\frac{3}{2}$a（a∈R），其導函數(shù)為f′（x）．
（1）求函數(shù)g（x）=f′（x）+（3a-1）x的極值；
（2）當x＞1時，關于x的不等式f（x）＜0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）首先對f（x）求導，則則g（x）=f'（x）+（3a-1）x=lnx-x=1；根據(jù)g（x）的單調(diào)性與導函數(shù)間的關系即可；
（2）首先對參數(shù)a分類討論，當a≤0時，則f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，所以f（x）＞f（1）=0在（1，+∞）上恒成立，與已知矛盾；當a＞0時，令φ（x）=f'（x）=lnx-3ax+1，根據(jù)φ（x）的單調(diào)性判斷f（x）的圖形特征即可；

解答 解：（1）由題知x＞0，f'（x）=lnx-3ax+1，則g（x）=f'（x）+（3a-1）x=lnx-x=1，g'（x）=$\frac{1-x}{x}$，
當0＜x＜1時，g'（x）=$\frac{1-x}{x}$＞0，g（x）為增函數(shù)；
當x＞1時，g'（x）=$\frac{1-x}{x}$＜0，g（x）為減函數(shù)．
所以當x=1時，g（x）有極大值g（1）=0，g（x）無極小值．
（2）由題意，f'（x）=lnx-3ax+1
（ I）當a≤0時，f'（x）=lnx-3ax+1＞0在x＞1時恒成立，則f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
所以f（x）＞f（1）=0在（1，+∞）上恒成立，與已知矛盾，故a≤0不符合題意．
（II）當a＞0時，令φ（x）=f'（x）=lnx-3ax+1，則φ'（x）=$\frac{1}{x}-3a$，且$\frac{1}{x}∈（0，1）$
①當3a≥1，即a$≥\frac{1}{3}$時，φ'（x）=$\frac{1}{x}$-3a＜0，于是φ（x）在x∈（1，+∞）上單調(diào)遞減，
所以φ（x）＜φ（1）=1-3a≤0，f'（x）＜0在x∈（1，+∞）上恒成立．則f（x）在x∈（1，+∞）上單調(diào)遞減，所以
f（x）＜f（1）=0在x∈（1，+∞）上成立，符合題意．
 ②當0＜3a＜1，即0＜a＜$\frac{1}{3}$時，$\frac{1}{3a}＞1$，φ'（x）=$\frac{1}{x}$-3a=$\frac{-3a（x-\frac{1}{3a}）}{x}$，
若x∈（1，$\frac{1}{3a}$），則φ'（x）＞0，φ（x）在（1，$\frac{1}{3a}$）上單調(diào)遞增；
若x∈（$\frac{1}{3a}$，+∞），則φ'（x）＜0，φ（x）在（$\frac{1}{3a}$，+∞）上單調(diào)遞減．
又φ（1）=1-3a＞0，所以φ（x）＞0在（1，$\frac{1}{3a}$）上恒成立，即f'（x）＞0在（1，$\frac{1}{3a}$）上恒成立，
所以f（x）在（1，$\frac{1}{3a}$）上單調(diào)遞增，則f（x）＞f（1）=0在（1，$\frac{1}{3a}$）上恒成立，
所以0＜a＜$\frac{1}{3}$ 不符合題意．
綜上所述，a的取值范圍為[$\frac{1}{3}$，+∞）

點評 本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及構(gòu)造新函數(shù)、分類討論思想的應用，屬中等題．