Question

如圖，在Rt△A′BC中，A′B=BC=2，D，E分別是A′B，A′C的中點，將△A′DE沿線段DE折起到△ADE，使平面ADE⊥平面DBCE．
（Ⅰ）若P，Q分別為AB，EC的中點，證明PQ∥平面AED．
（Ⅱ）若M為DE的中點，求三棱錐E-PMC的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）要證明PQ∥平面AED，過PQ構(gòu)造一個平面與平面AED平行，取BD中點N，連接PN，NQ，得到平面平面PNQ∥平面ADE；
（Ⅱ）把求三棱錐E-PMC的體積轉(zhuǎn)化成求三棱錐P-MEC的體積．

解答： 解：（Ⅰ）證明：如圖取BD中點N，連接PN，NQ，
顯然PN，NQ分別是△ABD，梯形BCED的中位線，
于是PN∥AD，NQ∥DE，PN?平面ADE，
∴PN∥平面ADE，NQ∥平面ADE，
又PN∩NQ=N，
因此平面PNQ∥平面ADE，
∴PQ∥平面AED．
（Ⅱ）易知DE∥BC，故∠ADE=∠A′DE=∠A′BC=90°，即AD⊥DE，
又因為平面ADE⊥平面DBCE，AD?平面ADE，
所以AD⊥平面DBCE
又PN∥AD，故PN即為三棱錐P-MEC的高，
由題意，易求得PN=

1

2

AD=

1

2

，BD=1，ME=

1

2

，
于是V_E-PMC=V_P-EMC=

1

3

×PN×

1

2

×ME×BD=

1

24

．

點評：本題考查了線面位置關(guān)系的證明及幾何體的體積，證明線面平行可以轉(zhuǎn)化成證明面面平行；求三棱錐的體積關(guān)鍵是通過轉(zhuǎn)換頂點轉(zhuǎn)化成易求底面積和高的三棱錐的體積問題．