已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，且過點（
3
，
1
2
）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓的左、右頂點分別為A、B，點S是橢圓上位于x軸上方的動點，直線AS，BS與直線l：x=
34
15
分別交于M、N兩點，求線段MN長度的最小值．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）由橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，且過點（
3
，
1
2
），可得
c
a
=
3
2
3
a2
+
1
4b2
=1
a2=b2+c2
，解得a，b即可．
（2）設(shè)直線AS的斜率為k＞0，利用kAS•kBS=-
b2
a2
，可得kBS=-
1
4k
．直線AS，BS的方程分別為：y=k（x+2），y=-
1
4k
(x-2)．令x=
34
15
，可得M，N．求出|MN|再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．
解答： 解：（1）∵橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，且過點（
3
，
1
2
），
∴
c
a
=
3
2
3
a2
+
1
4b2
=1
a2=b2+c2
，解得a=2，b=1．
∴橢圓C的方程為：
x2
4
+y2=1．
（2）設(shè)直線AS的斜率為k＞0，
∵kAS•kBS=-
1
4
，
∴kBS=-
1
4k
．
∴直線AS，BS的方程分別為：
y=k（x+2），y=-
1
4k
(x-2)．
令x=
34
15
，則M(
34
15
，
64k
15
)，N(
34
15
，-
1
15k
)．
∴|MN|=
64k
15
+
1
15k
≥
1
15
×2
64k•
1
k
=
16
15
，當(dāng)且僅當(dāng)k=
1
8
時取等號．
∴線段MN長度的最小值為
16
15
．
點評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點P為拋物線y=
1
2
x2上的動點，點P在x軸上的射影為M，點A的坐標(biāo)是（6，
17
2
），則|PA|+|PM|的最小值是（　�。�
A、8
B、
19
2
C、10
D、
21
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

全集U={1，-2，3，-4，5，-6}，M={1，-2，3，-4}，則∁UM（　�。�
A、{1，3}
B、{5，-6}
C、{1，5}
D、{-4，5}

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y2=4ax（a＞0）的焦點為A，以B（a+4，0）為圓心，|BA|為半徑，在x軸上方畫半圓，設(shè)拋物線與半圓交于不同兩點M、N，P為線段MN的中點．求|AM|+|AN|的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦點分別是F1，F(xiàn)2，過點F1的直線l交橢圓C于A，B兩點，若△AF2B的周長為16，過焦點F1且垂直于長軸的直線被橢圓截得的線段長為2，則橢圓C的離心率為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線x2-2y2=2的左、右兩焦點為F1，F(xiàn)2，動點P滿足|PF1|+|PF2|=4，
（Ⅰ）求動點P的軌跡W的方程；
（Ⅱ）若線段AB是曲線W的長為2的動弦，O為坐標(biāo)原點，求△AOB面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若橢圓mx2+ny2=1（m＞0，n＞0）與直線x+y-1=0交于A，B兩點，若m：n=1：
2
，則過原點與線段AB的中點M的連線的斜率為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

向由平面直角坐標(biāo)系中的四點（0，0），（1，0），（1，1），（0，1）所圍成的平面區(qū)域中任意拋擲一粒黃豆，則該黃豆落在曲線y=x3和y=
3x
所圍成的平面區(qū)域內(nèi)的概率為（　�。�
A、
1
4
B、
1
3
C、
1
2
D、2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

方程log4x+x-4=0的解所在區(qū)間是（　　）
A、（0，1）
B、（1，2）
C、（2，3）
D、（3，+∞）

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