Question

12．已知數(shù)列{x_n}，x₁=2，且2x_n+1+x_n•x_n+1-4x_n=3．
（1）設(shè)b_n=x_n-3，試用b_n表示b_n+1，并證明{$\frac{1}{_{n}}$+$\frac{1}{4}$}為等比數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{x_n}的前n項(xiàng)和為S_n，證明：3n-$\frac{5}{3}$＜S_n＜3n．

Answer 1

分析 （1）通過2x_n+1+x_n•x_n+1-4x_n=3可知x_n+1=$\frac{4{x}_{n}+3}{{x}_{n}+2}$，從而x_n+1-3=$\frac{{x}_{n}-3}{{x}_{n}+2}$，兩邊取倒數(shù)、整理可知$\frac{1}{_{n+1}}$+$\frac{1}{4}$=5（$\frac{1}{_{n}}$+$\frac{1}{4}$），進(jìn)而可知數(shù)列{$\frac{1}{_{n}}$+$\frac{1}{4}$}是以-$\frac{3}{4}$為首項(xiàng)、5為公比的等比數(shù)列；
（2）通過（1）可知$\frac{1}{_{n}}$+$\frac{1}{4}$=-$\frac{3}{4}$•5^n-1，進(jìn)而可知x_n=3-$\frac{4}{1+3•{5}^{n-1}}$，利用f（n）=$\frac{4}{1+3•{5}^{n-1}}$隨著n的增大而減小，可知數(shù)列{$\frac{4}{1+3•{5}^{n-1}}$}的前n項(xiàng)和T_n＜$\frac{5}{3}$，進(jìn)而可得結(jié)論．

解答 證明：（1）∵2x_n+1+x_n•x_n+1-4x_n=3，
∴x_n+1-3=$\frac{4{x}_{n}+3}{{x}_{n}+2}$-3=$\frac{{x}_{n}-3}{{x}_{n}+2}$，
∴$\frac{1}{{x}_{n+1}-3}$=$\frac{{x}_{n}+2}{{x}_{n}-3}$=1+$\frac{5}{{x}_{n}-3}$，
即$\frac{1}{_{n+1}}$=1+5$\frac{1}{_{n}}$，
∴$\frac{1}{_{n+1}}$+$\frac{1}{4}$=5（$\frac{1}{_{n}}$+$\frac{1}{4}$），
又∵$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{{x}_{1}-3}$+$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2-3}$+$\frac{1}{4}$=-$\frac{3}{4}$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{_{n}}$+$\frac{1}{4}$}是以-$\frac{3}{4}$為首項(xiàng)、5為公比的等比數(shù)列；
（2）由（1）可知$\frac{1}{_{n}}$+$\frac{1}{4}$=-$\frac{3}{4}$•5^n-1，
∴$\frac{1}{_{n}}$=-$\frac{3}{4}$•5^n-1-$\frac{1}{4}$=-$\frac{1}{4}$（1+3•5^n-1），
∴b_n=-$\frac{4}{1+3•{5}^{n-1}}$，
∴x_n=3+b_n=3-$\frac{4}{1+3•{5}^{n-1}}$，
∵f（n）=$\frac{4}{1+3•{5}^{n-1}}$隨著n的增大而減小，
∴S_n＜3n，
又∵$\frac{4}{1+3•{5}^{n-1}}$＜$\frac{4}{3}$•5^1-n，
∴數(shù)列{$\frac{4}{1+3•{5}^{n-1}}$}的前n項(xiàng)和T_n＜$\frac{4}{3}$•$\frac{1-\frac{1}{{5}^{n}}}{1-\frac{1}{5}}$=$\frac{4}{3}$•$\frac{5}{4}$（1-$\frac{1}{{5}^{n}}$）＜$\frac{5}{3}$，
∴3n-$\frac{5}{3}$＜S_n，
綜上所述，3n-$\frac{5}{3}$＜S_n＜3n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，對(duì)表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．