Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{6co{s}^{4}x+5si{n}^{2}x-4}{cos2x}$
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）求f（x）的周期和單調(diào)區(qū)間；
（3）若關(guān)于x的不等式f（x）≥m²-m有解．求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)cos2x≠0，求得函數(shù)的定義域為{x|x≠$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{4}$，k∈Z}，函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱．再根據(jù)f（-x）=f（x），可得函數(shù)為奇函數(shù)．
（2）三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，求出f（x）的周期和單調(diào)區(qū)間．
（3）求得函數(shù)f（x）的值域為[-1，$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，2]，再結(jié)合關(guān)于x的不等式f（x）≥m²-m有解，可得 m²-m≤2，由此求得m的范圍．

解答 解：（1）∵cos2x≠0，∴2x≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，故函數(shù)的定義域為{x|x≠$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{4}$，k∈Z}，關(guān)于原點對稱．
又函數(shù)f（-x）=$\frac{6co{s}^{4}x+5si{n}^{2}x-4}{cos2x}$=$\frac{{6cos}^{4}（-x）+{5sin}^{2}（-x）-4}{cos（-2x）}$=$\frac{6co{s}^{4}x+5si{n}^{2}x-4}{cos2x}$=f（x），
故函數(shù)f（x）為偶函數(shù)．
（2）∵f（x）=$\frac{6co{s}^{4}x+5si{n}^{2}x-4}{cos2x}$=$\frac{{6cos}^{4}x+5（1{-cos}^{2}x）-4}{cos2x}$=$\frac{（{2cos}^{2}x-1）（{3cos}^{2}x-1）}{cos2x}$=3cos²x-1
=3•$\frac{1+cos2x}{2}$-1=$\frac{3}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$，
故它的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π．
令2kπ≤2x≤2kπ+π，求得kπ≤x≤kπ+$\frac{π}{2}$，可得它的減區(qū)間為[kπ，kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z；
令2kπ-π≤2x≤2kπ，求得kπ-$\frac{π}{2}$≤x≤kπ，可得它的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{2}$，kπ]，k∈Z．
（3）根據(jù)f（x）=$\frac{6co{s}^{4}x+5si{n}^{2}x-4}{cos2x}$，可得cos2x≠0，故f（x）=$\frac{3}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$≠$\frac{1}{2}$，
故函數(shù)f（x）的值域為[-1，$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，2]．
關(guān)于x的不等式f（x）≥m²-m有解，∴m²-m≤2，求得-1≤m≤2．

點評 本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷方法，三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，求三角函數(shù)式的值域，屬于中檔題．