Question

19．已知函數(shù)f（x）=m-|x-1|-2|x+1|，若二次函數(shù)y=x²+2x+3與函數(shù)y=f（x）的圖象恒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 由二次函數(shù)y=x²+2x+3=（x+1）²+2在x=-1取得最小值2，f（x）在x=-1處取得最大值m-2，故有m-2≥2，由此求得m的范圍．

解答 解：由二次函數(shù)y=x²+2x+3=（x+1）²+2，該函數(shù)在x=-1取得最小值2，
因?yàn)閒（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3x+1+m，x＜-1}\\{-x-3+m，-1≤x≤1}\\{-3x+m-1，x＞1}\end{array}\right.$在x=-1處取得最大值m-2，
所以要使二次函數(shù)y=x²+2x+3與函數(shù)y=f（x）的圖象恒有公共點(diǎn)，只需m-2≥2，
求得m≥4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)的恒成立問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．