Question

8．如圖A、B、C是圓O上三個點(diǎn)，AD是∠BAC的平分線，交圓O于D，過B作圓O的切線交AD的延長線于E．
（Ⅰ）求證：BD平分∠EBC；
（Ⅱ）求證：AB•BE=AE•DC．

Answer 1

分析 （I）利用BE是圓的切線，證明∠BAD=∠DBC=∠EBD，可得BD平分∠EBC．
（II）通過△ABE∽△BDE，得到$\frac{AB}{BD}=\frac{AE}{BE}$，結(jié)合BD=DC，證明AB•BE=AE•DC．

解答 證明：（I）∵BE是圓的切線，∴∠EBD=∠BAD，
而∠DBC=∠DAC，又AD是∠BAC的平分線，
∴∠BAD=∠DAC，∴∠BAD=∠DBC=∠EBD，
∴BD平分∠EBC；…（5分）
（II）由（I）可證△ABE∽△BDE，∴$\frac{AB}{BD}=\frac{AE}{BE}$，AB•BE=AE•BD
又AD是∠BAC的平分線，∴BD=DC，
∴AB•BE=AE•DC．…（10分）

點(diǎn)評 本題考查角的平分線，三角形相似的證明與應(yīng)用，考查邏輯推理能力．