Question

18．設(shè)集合M={x|f（x）=x}，N={f（f（x））=x}．
（1）求證：M⊆N；
（2）若f（x）是一個在R上單調(diào)遞增的函數(shù)，是否有M=N？若是，請證明．

Answer 1

分析 （1）用所給定義證明M⊆N，
（2）根據(jù)單調(diào)性用反證法證明N⊆M，即可得出結(jié)論．

解答 證明：任取x₀∈M，則f（x₀）=x₀，f（f（x₀））=f（x₀）=x₀，
∴x₀∈N，∴M⊆N；
（2）M=N．
任取y₀∈N，f（f（y₀））=y₀，
若f（y₀）≠y₀，不妨設(shè)f（y₀）＞y₀，
由單調(diào)遞增可知：f（f（y₀））＞f（y₀）＞y₀，與f（f（y₀））=y₀矛盾，
同理f（y₀）＜y₀也矛盾，所以f（y₀）=y₀，∴N⊆M，
∵M⊆N，
∴M=N．

點評 本題考查函數(shù)單調(diào)性、集合運算，考查學(xué)生推理論證能力及運用所學(xué)知識分析問題解決新問題的能力，綜合性強，難度大．