Question

（本小題滿分14分）

已知數(shù)列的首項為，對任意的，定義.

（Ⅰ） 若，求；

（Ⅱ） 若，且.

（ⅰ）當時，求數(shù)列的前項和；

（ⅱ）當時，求證：數(shù)列中任意一項的值均不會在該數(shù)列中出現(xiàn)無數(shù)次.

Answer 1

（本小題滿分14分）

(Ⅰ) 解：,,

.                                 ………………3分

（Ⅱ）（�。┙猓阂驗�（），

所以，對任意的有，

即數(shù)列各項的值重復出現(xiàn)，周期為.                     ………………5分

又數(shù)列的前6項分別為，且這六個數(shù)的和為7.

設(shè)數(shù)列的前項和為，則，

當時，

，      

當時，

    ，                     ………………7分

所以，當為偶數(shù)時，；當為奇數(shù)時，. ………………8分

（ⅱ）證明：由（�。┲�：對任意的有，

又數(shù)列的前6項分別為，且這六個數(shù)的和為.

設(shè)，（其中為常數(shù)且），

所以

. 

所以，數(shù)列均為以為公差的等差數(shù)列.          ………………10分

因為時，，時，，  ………………12分

所以{}為公差不為零的等差數(shù)列，其中任何一項的值最多在該數(shù)列中出現(xiàn)一次.

所以數(shù)列中任意一項的值最多在此數(shù)列中出現(xiàn)6次，

即任意一項的值不會在此數(shù)列中重復出現(xiàn)無數(shù)次.               ………………14分