Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的圖象與x軸的交點(diǎn)中，相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為

π

2

，且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為M(

2π

3

，-2)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；

Answer 1

分析：（1）利用已知條件，求出A，T，然后求出ω，圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為M(

2π

3

，-2)．坐標(biāo)代入方程求出φ，即可求得f（x）的解析式；
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，求出f（x）的單調(diào)增區(qū)間；

解答：解：（1）因?yàn)橹芷跒門(mén)，則T=2×

π

2

=π
ω=2 因?yàn)樽畹忘c(diǎn)為M(

2π

3

，-2)
則-A=-2
A=2
所以 f（x）=2sin（2x+φ）
因?yàn)樽畹忘c(diǎn)為M(

2π

3

，-2)
則最底點(diǎn)是sin（2×

2π

3

+φ）=sin（

4π

3

+φ）=-1
則

4π

3

+φ=2kπ-

π

2

 k∈Z
φ=2kπ-

π

2

-

4π

3

=2kπ-

11π

6

=2（k-1）π+

π

6

因?yàn)?＜φ＜

π

2

所以φ=

π

6

所以f（x）=2sin（2x+

π

6

）
（2）因?yàn)閥sinx的單調(diào)增區(qū)間為：[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]k∈Z
所以f（x）=2sin（2x+

π

6

） 可得
-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ
解得  x∈[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]k∈Z
f（x）的單調(diào)增區(qū)間：[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]k∈Z

點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，能夠利用基本函數(shù)的性質(zhì)解題，對(duì)性質(zhì)的理解程度決定解題能力高低，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．