Question

（2012•漳州模擬）已知兩點A（-2，0）、B（2，0），動點P滿足kPA  •  kPB=-

1

4

．
（1）求動點P的軌跡E的方程；
（2）H是曲線E與y軸正半軸的交點，曲線E上是否存在兩點M、N，使得△HMN是以H為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，請說明有幾個；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設點P的坐標為（x，y）（y≠0），求PA、PB的斜率，利用kPA  •  kPB=-

1

4

，化簡可得動點P的軌跡E的方程；
（2）設能構(gòu)成等腰直角三角形HMN，其中H為（0，1），由題意可知，直角邊HM，HN不可能垂直或平行于x軸，故可設HM所在直線的方程為y=kx+1，（不妨設k＞0）則HN所在直線的方程為y=-

1

k

x+1，確定交點M、N的坐標，求出HN、HM的長，利用|HM|=|HN|，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）設點P的坐標為（x，y）（y≠0），則kPA=

y-0

x+2

，kPB=

y-0

x-2

，
∵kPA  •  kPB=-

1

4

，∴

y

x+2

 •  

y

x-2

=-

1

4

，化簡得

x2

4

+y2=1，
∴動點P的軌跡E的方程為

x2

4

+y2=1（y≠0）．注：如果未說明y≠0，扣（1分）．
（2）設能構(gòu)成等腰直角三角形HMN，其中H為（0，1），
由題意可知，直角邊HM，HN不可能垂直或平行于x軸，故可設HM所在直線的方程為y=kx+1，（不妨設k＞0）
則HN所在直線的方程為y=-

1

k

x+1，由

y=kx+1 x2+4y2=4

求得交點M(-

8k

1+4k2

，

-8k2

1+4k2

+1)，（另一交點H（0，1））
∴|HM|=

(- 8k 1+4k2 )2+(- 8k2 1+4k2 )2

=

8k 1+k2

1+4k2

，
用-

1

k

代替上式中的k，得|HN|=

8 1+k2

4+k 2

，
由|HM|=|HN|，得k（4+k²）=1+4k²，
∴k³-4k²+4k-1=0⇒（k-1）（k²-3k+1）=0，
解得：k=1或k=

3± 5

2

，
當HM斜率k=1時，HN斜率-1；當HM斜率k=

3+ 5

2

時，HN斜率

-3+ 5

2

；當HM斜率k=

3- 5

2

時，HN斜率

-3- 5

2

，
綜上述，符合條件的三角形有3個．

點評：本題考查軌跡方程的求解，考查直線與橢圓的位置關系，解題的關鍵是求出HN、HM的長，利用|HM|=|HN|進行求解．