Question

11．在△ABC中，sinA+cosA=$\frac{7}{13}$，求下列各式的值：
（1）tanA；
（2）2sinAcosA-cos²A．

Answer 1

分析 （1）把已知兩邊平方求得sinAcosA，進(jìn)一步求得sinA-cosA，可得tanA；
（2）由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式把2sinAcosA-cos²A轉(zhuǎn)化為正切求解．

解答 解：（1）∵sinA+cosA=$\frac{7}{13}$，①
∴（sinA+cosA）²=1+2sinAcosA=$\frac{49}{169}$，
則2sinAcosA=-$\frac{120}{169}$．
則（sinA-cosA）²=1-2sinAcosA=$\frac{289}{169}$．
在△ABC中，2sinA•cosA＜0，則sinA＞0，cosA＜0．
∴sinA-cosA=$\frac{17}{13}$，②
由①②聯(lián)立，得sinA=$\frac{12}{13}$，cosA=-$\frac{5}{13}$．
∴tanA=$\frac{sinA}{cosA}$=-$\frac{12}{5}$；
（2）2sinAcosA-cos²A=$\frac{2sinAcosA-co{s}^{2}A}{si{n}^{2}A+co{s}^{2}A}$
=$\frac{2tanA-1}{ta{n}^{2}A+1}$=-$\frac{145}{169}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．