Question

3．已知函數(shù)f（x）=（x²+ax+a）$\sqrt{1-2x}$．
（ I）當a=$\frac{17}{3}$時，求f（x）的極值；
（ II）若f（x）在區(qū)間（0，$\frac{1}{4}$）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（Ⅱ）解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的 定義域為（-∞，$\frac{1}{2}$]，
導函數(shù)f′（x）=$\frac{-x（5x+3a-2）}{\sqrt{1-2x}}$，
當a=$\frac{17}{3}$，f′（x）=$\frac{-5x（x+3）}{\sqrt{1-2x}}$，

x	（-∞，-5）	-5	（-5，0）	0	（0，$\frac{1}{2}$）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	遞減	極小值	遞增	極大值	遞減

函數(shù)的極大值為f（0）=$\frac{17}{3}$，極小值為f（-5）=$\frac{7}{3}$$\sqrt{11}$；
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間（0，$\frac{1}{4}$）上單調(diào)遞增，
則f′（x）＞0，即5x+3a-2≤0，
故3a≤2-5x在（0，$\frac{1}{4}$）上恒成立，
而2-5x的最小值是$\frac{3}{4}$，
故a≤$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導數(shù)的應用，是一道中檔題．