Question

11、定義在（-∞，+∞）上的偶函數(shù)f（x），滿足f（x-1）=-f（x），且f（x）在[0，1]上是減函數(shù)．下
面五個關于f（x）的命題中，命題正確的個數(shù)有

4

個
①f（x）是周期函數(shù)；②f（x）的圖象關于x=1對稱；③f（x）在[-1，0]上是減函數(shù)；④f（x）在[1，2]上為增函數(shù)；⑤f（2）=f（0）．

Answer 1

分析：由題意先給x適當?shù)闹登蟪龊瘮?shù)的周期和對稱軸，進而判斷出①②⑤正確，再根據(jù)偶函數(shù)圖象的對稱性判斷在對稱區(qū)間上的單調性相反，得到③正確而④不對．

解答：解：∵f（x-1）=-f（x），令x=x+1，得f（x）=-f（x+1）；
∴f（x-1）=f（x+1），則f（x）=f（x+2）
∴函數(shù)的周期是：T=2，函數(shù)的對稱軸x=1；所以①②⑤正確．
∵f（x）是定義在（-∞，+∞）上的偶函數(shù)，f（x）在[0，1]上是減函數(shù)，
∴f（x）在[-1，0]上是減函數(shù)；所以③正確．
∴f（x）在[1，2]上為為減函數(shù)，故④不正確．
故答案為：4．

點評：本題的考點是函數(shù)奇偶性和周期性的應用，根據(jù)所給的式子進行變形求出周期和對稱軸，再由函數(shù)圖象的對稱性判斷單調性，是綜合性題．