已知三次函數(shù)f(x)=
a
3
x3+
b
2
x2+cx+d(2a＜b)在R上單調(diào)遞增，則
a+b+c
b-2a
的最小值為
4
4
．
分析：函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，則有f′（x）≥0恒成立，得到關(guān)于a，b，c的條件，把
a+b+c
b-2a
中的c用a，b表示，再運(yùn)用基本不等式可求f（x）的最小值．
解答：解：f′（x）=ax2+bx+c，
因?yàn)槿魏瘮?shù)f(x)=
a
3
x3+
b
2
x2+cx+d(2a＜b)在R上單調(diào)遞增，
所以f′（x）=ax2+bx+c≥0恒成立，則有
a＞0
b2-4ac≤0
，所以c≥
b2
4a
．
則
a+b+c
b-2a
≥
a+b+
b2
4a
b-2a
=
(2a+b)2
4a(b-2a)
=
[(b-2a)+4a]2
4a(b-2a)

≥
[2
(b-2a)4a
]2
4a(b-2a)
=4，當(dāng)且僅當(dāng)b-2a=4a，即b=6a時(shí)取“=”號．
所以
a+b+c
b-2a
的最小值為4．
故答案為：4．
點(diǎn)評：本題考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及基本不等式求最值問題，考查分析問題解決問題的能力，屬綜合題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知三次函數(shù)f(x)=
1
3
x3+
b
2
x2+x在R上有極值，則實(shí)數(shù)b的范圍為
（-∞，-2）∪（2，+∞）
（-∞，-2）∪（2，+∞）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知三次函數(shù)f(x)=
a
3
x3+
b
2
x2+cx+d(a＜b)在R上單調(diào)遞增，則
a+b+c
b-a
的最小值為
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知三次函數(shù)f(x)=
a
3
x3+
b
2
x2+cx+d(a＜b)在R上單調(diào)遞增，求
a+b+c
b-a
的最小值．
（2）設(shè)f（x）=x2+bx+c（b，c∈R）．若|x|≥2時(shí)，f（x）≥0，且f（x）在區(qū)間（2，3]上的最大值為1，求b2+c2的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知三次函數(shù)f(x)=
a
3
x3+bx2+cx+d(a＜b)在R上單調(diào)遞增，則
a+b+c
b-a
的最小值為
 
．

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