Question

某汽車生產(chǎn)企業(yè)上年度生產(chǎn)一品牌汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價(jià)為13萬元/輛，年銷售量為5000輛.本年度為適應(yīng)市場(chǎng)需求，計(jì)劃提高產(chǎn)品檔次，適當(dāng)增加投入成本，若每輛車投入成本增加的比例為（0＜＜1，則出廠價(jià)相應(yīng)提高的比例為0.7，年銷售量也相應(yīng)增加.已知年利潤(rùn)=（每輛車的出廠價(jià)－每輛車的投入成本）×年銷售量.

（1）若年銷售量增加的比例為0.4，為使本年度的年利潤(rùn)比上年度有所增加，則投入成本增加的比例應(yīng)在什么范圍內(nèi)？

（2）年銷售量關(guān)于的函數(shù)為，則當(dāng)為何值時(shí)，本年度的年利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少？

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）當(dāng)時(shí)，本年度的年利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為20000萬元．

【解析】

試題分析：（1）由題意得：本年度每輛車的投入成本為10×（1+x）；

出廠價(jià)為13×（1+0.7x）；年銷售量為5000×（1+0.4x），     2分

因此本年度的利潤(rùn)為

即：  6分

由，     得       8分

（2）本年度的利潤(rùn)為

則         10分

由 

當(dāng)是增函數(shù)；當(dāng)是減函數(shù).

∴當(dāng)時(shí)，萬元，      12分

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013032210021212503585/SYS201303221002518437548486_DA.files/image013.png">在（0，1）上只有一個(gè)極大值，所以它是最大值，       14分

所以當(dāng)時(shí)，本年度的年利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為20000萬元．      16分

考點(diǎn)：函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值和最值。

點(diǎn)評(píng)：研究數(shù)學(xué)模型，建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而借鑒數(shù)學(xué)模型，對(duì)提高解決實(shí)際問題的能力，以及提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)都是十分重要的．建立模型的步驟可分為： (1) 分析問題中哪些是變量，哪些是常量，分別用字母表示； (2) 根據(jù)所給條件，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，確定等量關(guān)系； (3) 寫出的解析式并指明定義域。