Question

（本小題滿分12分）

某汽車(chē)生產(chǎn)企業(yè)上年度生產(chǎn)一品牌汽車(chē)的投入成本為10萬(wàn)元/輛，出廠價(jià)為13萬(wàn)元/輛，年銷售量為5000輛．本年度為適應(yīng)市場(chǎng)需求，計(jì)劃提高產(chǎn)品檔次，適當(dāng)增加投入成本，若每輛車(chē)投入成本增加的比例為x(0<x<1)，則出廠價(jià)相應(yīng)提高的比例為0．7x，年銷售量也相應(yīng)增加．已知年利潤(rùn)＝(每輛車(chē)的出廠價(jià)－每輛車(chē)的投入成本)×年銷售量．

(Ⅰ)若年銷售量增加的比例為0.4x，為使本年度的年利潤(rùn)比上年度有所增加，則投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？

(Ⅱ)年銷售量關(guān)于x的函數(shù)為y＝3240(－x²＋2x＋)，則當(dāng)x為何值時(shí)，本年度的年利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少？

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 0<x<時(shí)，本年度的年利潤(rùn)比上年度有所增加．

(Ⅱ)當(dāng)x＝時(shí)，本年度的年利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為20000萬(wàn)元．

【解析】（Ⅰ）根據(jù)題意，要使本年度的年利潤(rùn)比上年度有所增加，則投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？首先表示出本年度的年利潤(rùn)，根據(jù)原題中已知的年利潤(rùn)=（每輛車(chē)的出廠價(jià)-每輛車(chē)的投入成本）×年銷售量可表示出來(lái)．然后列出不等式得到x的取值范圍．

（Ⅱ）根據(jù)題意，要使本年度的年利潤(rùn)最大，首先表示出本年度年利潤(rùn)的函數(shù)表達(dá)式，然后求出此函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零時(shí)x的值，并且考慮導(dǎo)數(shù)大于零和小于零時(shí)函數(shù)的增減性可知此時(shí)的x值對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是函數(shù)的最值．

(Ⅰ)由題意得，上年度的利潤(rùn)為(13－10)×5000＝15000萬(wàn)元；本年度每輛車(chē)的投入成本為10(1＋x)；本年度每輛車(chē)的出廠價(jià)為13(1＋0．7x)；本年度年銷售量為5000(1＋0．4x)，因此本年度的利潤(rùn)為y＝[13(1＋0．7x)－10(1＋x)]·5000(1＋0．4x)＝(3－0．9x)·5000(1＋0．4x)＝－1800x²＋1500x＋15000(0<x<1)，由－1800x²＋1500x＋15000>15000，解得0<x<，x在此范圍內(nèi)，本年度的年利潤(rùn)比上年度有所增加．

   (Ⅱ)本年度的利潤(rùn)為f(x)＝(3－0．9x)·3240(－x²＋2x＋)＝3240×(0．9x³－4．8x²＋4．5x＋5)．則f′(x)＝3240(2．7x²－9．6x＋4．5)＝972(9x－5)(x－3)，由f′(x)＝0，解得x＝或x＝3，當(dāng)x∈(0，)時(shí)，f′(x)>0，f(x)是增函數(shù)；當(dāng)x∈(，1)時(shí)，f′(x)<0，f(x)是減函數(shù)．∴當(dāng)x＝時(shí)，f(x)取極大值f()＝20000萬(wàn)元，∵f(x)在 (0,1)上只有一個(gè)極大值，∴它是最大值，∴當(dāng)x＝時(shí)，本年度的年利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為20000萬(wàn)元．