Question

如圖，橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)重合，過(guò)且于x軸垂直的直線(xiàn)與橢圓交于S,T，與拋物線(xiàn)交于C，D兩點(diǎn)，且

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)M(2,0)的直線(xiàn)與橢圓相交于不同兩點(diǎn)A和B，且滿(mǎn)足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

 

Answer 1

(1)(2)

【解析】

試題分析：

(1)拋物線(xiàn)的方程已知,則可以求出右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,則可以知道和直線(xiàn)CD的方程我餓哦x=1,聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程可以求出C,D兩點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而得到CD的長(zhǎng)度,再聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程即可求出ST兩點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而得到ST的距離,利用條件建立關(guān)于的等式,與聯(lián)立即可求出的值,進(jìn)而得到橢圓的方程.

(2)因?yàn)橹本�(xiàn)l與橢圓有交點(diǎn),所以直線(xiàn)l的斜率一定存在,則設(shè)出直線(xiàn)l的斜率得到直線(xiàn)l的方程,聯(lián)立直線(xiàn)l與橢圓方程得到AB兩點(diǎn)橫縱坐標(biāo)之間的韋達(dá)定理,即的值,再利用發(fā)解即可得到P點(diǎn)的坐標(biāo),因?yàn)镻在橢圓上,代入橢圓得到直線(xiàn)斜率k與t的方程,,利用k的范圍求解出函數(shù)的范圍即可得到t的范圍.

試題解析：

（1）設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，由題意，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為,.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111718585747978572/SYS201411171859041206473470_DA/SYS201411171859041206473470_DA.020.png">,所以 2分

又，，,又

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 5分

（2）由題意，直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)的方程為

由消去，得,（*）

設(shè),則是方程（*）的兩根，所以

即① 7分

且，由，得

若，則點(diǎn)與原點(diǎn)重合，與題意不符，故，

所以， 9分

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以

,即,

再由①，得又，. 13分

考點(diǎn)：拋物線(xiàn)橢圓直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系韋達(dá)定理