Question

（本小題滿分14分）

有個(gè)首項(xiàng)為1，項(xiàng)數(shù)為的等差數(shù)列，設(shè)其第個(gè)等差數(shù)列的第項(xiàng)為，且公差為. 若，，

也成等差數(shù)列．

（Ⅰ）求（）關(guān)于的表達(dá)式；

（Ⅱ）將數(shù)列分組如下：，，，，，，）…，

（每組數(shù)的個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列），設(shè)前組中所有數(shù)之和為，求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（Ⅲ）設(shè)是不超過(guò)20的正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，對(duì)于（Ⅱ）中的，求使得不等式

成立的所有的值．

Answer 1

（滿分14分）

解（Ⅰ）由題意知，．

，同理，

，，…，

．

成等差數(shù)列，

所以，

故.

即是公差是的等差數(shù)列．

所以，（，）．       ………………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知．

數(shù)列分組如下：，，，…．

按分組規(guī)律，第組中有個(gè)奇數(shù)，

所以第1組到第組共有個(gè)奇數(shù)．

注意到前個(gè)奇數(shù)的和為，

所以前個(gè)奇數(shù)的和為，即前組中所有數(shù)之和為，所以．

    因?yàn)?sub>，所以，從而 ．

所以 .

，

故

，

所以 ．              ……………………………………10分

（Ⅲ）由（Ⅱ）得，.

故不等式 就是．

考慮函數(shù)．

當(dāng)時(shí)，都有，即．

而，

注意到當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故有.

因此當(dāng)時(shí)，成立，即成立．

所以滿足條件的所有正整數(shù)．…………………………………14