Question

①若函數(shù)f（x）=x³-3x+m在[0，2]上存在零點，則實數(shù)m的取值范圍是

-2≤m≤2

②若函數(shù)f（x）=x³-3x+m在[0，2]上存在兩個不同的零點，則實數(shù)m的取值范圍是

0≤m＜2

．

Answer 1

分析：①利用導數(shù)求出函數(shù)f（x）的單調區(qū)間及極大值、極小值、f（0）、f（2），結合函數(shù)f（x）的圖象，先求出函數(shù)f（x）=x³-3x+m在[0，2]上不存在零點時m的范圍，然后求其補集即可；
②結合函數(shù)f（x）的圖象，由函數(shù)f（x）=x³-3x+m在[0，2]上存在兩個不同零點，可對f（0）、f（1）、f（2）的符號進行限制，由此可求出m的取值范圍．

解答：解：①f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
當x＜-1或x＞1時，f′（x）＞0，當-1＜x＜1時，f′（x）＜0，
所以f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上單調遞增；在（-1，1）上單調遞減．
所以當x=-1時f（x）取得極大值f（-1）=2+m，當x=1時f（x）取得極小值f（1）=-2+m，f（0）=m，f（2）=2+m．
若函數(shù)f（x）=x³-3x+m在[0，2]上不存在零點，則有f（1）＞0或

f(0)＜0 f(2)＜0

即-2+m＞0或

m＜0 2+m＜0

，解得m＞2或m＜-2，
所以當函數(shù)f（x）=x³-3x+m在[0，2]上存在零點時，實數(shù)m的取值范圍是[-2，2]．
故答案為：-2≤m≤2．
（2）若函數(shù)f（x）=x³-3x+m在[0，2]上存在兩個不同的零點，由（1）知，

f(0)≥0 f(1)＜0 f(2)≥0

，即

m≥0 -2+m＜0 2+m≥0

，解得0≤m＜2．
故答案為：0≤m＜2．

點評：本題考查應用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值問題，考查分析問題解決問題的能力以及數(shù)形結合思想的應用．