Question

已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，g（x）=3a²lnx+b，其中a＞0，設(shè)兩曲線y=f（x），y=g（x）有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同．
（I）用a表示b，并求b的最大值；
（II）求證：f（x）≥g（x）（x＞0）．

Answer 1

【答案】分析：（I）欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．最后用a表示b，利用導(dǎo)數(shù)的工具求b的最大值，從而問(wèn)題解決．
（II）先設(shè)F（x）=f（x）-g（x），利用導(dǎo)數(shù)研究此函數(shù)的單調(diào)性，欲證f（x）≥g（x）（x＞0），只須證明F（x）在（0，+∞）上的最小值是0即可．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)y=f（x）與y=g（x）（x＞0）在公共點(diǎn)（x，y）處的切線相同，
∵f′（x）=x+2a，，
由題意f（x）=g（x），f′（x）=g′（x），
由得x=a，x=-3a（舍去）即有=（3分）
令，則h′（t）=2t（1-3lnt）
當(dāng)t（1-3lnt）＞0，即時(shí)，h'（t）＞0；
當(dāng)t（1-3lnt）＜0，即時(shí)，h'（t）＜0．
故h（t）在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，
于是h（t）在（0，+∞）的最大值為（6分）

（Ⅱ）設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=，
則F'（x）=（10分）
故F（x）在（0，a）為減函數(shù)，在（a，+∞）為增函數(shù)，
于是函數(shù)F（x）在（0，+∞）上的最小值是F（a）=F（x）=f（x）-g（x）=0．
故當(dāng)x＞0時(shí)，有f（x）-g（x）≥0，即當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）≥g（x）（12分）
點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過(guò)某點(diǎn)切線方程的斜率，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．