Question

在△ABC中，A（1，1），B（4，5），C（-1，1），則與角A的平分線共線且方向相同的單位向量為

(-

5

5

，

2 5

5

)

．

Answer 1

分析：作D點(diǎn)（1，5），則△ADB為直角三角形，∠DAB=arctan

5

4

，△CAD為直角三角形，∠CAD=

π

2

，由∠CAB=∠CAD+∠DAB，知 tan∠CAB=-

4

3

，設(shè)E在角平分線上，則∠CAE=

1

2

∠CAB，設(shè)tan∠CAE=k，則-

4

3

=

2k

1-k2

，由此能求出該單位向量．

解答：解：作D點(diǎn)（1，5），則 ①△ADB為直角三角形
∴∠DAB=arctan

5

4

，②△CAD為直角三角形
∴∠CAD=

π

2

，
∵∠CAB=∠CAD+∠DAB
∴∠CAB=

π

2

+arctan

3

4

∴tan∠CAB=-

4

3

，
設(shè)E在角平分線上，則∠CAE=

1

2

∠CAB，
設(shè)tan∠CAE=k，-

4

3

=

2k

1-k2

，
解之得 k=2 （另一解不合題意，舍去）
即，該角平分線的斜率為 tan（π-∠CAE）=-tan∠CAE=-2．
該向量與之共線且方向相同，
則設(shè)其為 （-a，2a），（其中a＞0）
又其為單位向量，
則（-a）²+（2a）²=1²
解之得 a=

1

5

=

5

5

，（負(fù)值解不合所設(shè)，舍去）
則該單位向量為（-

5

5

，

2 5

5

）．
故答案為：（-

5

5

，

2 5

5

）．

點(diǎn)評：本題考查單位向量的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．