Question

【題目】已知函數(shù) (為實常數(shù)) ．

（I）當時，求函數(shù)在上的最大值及相應(yīng)的值；

（II）當時，討論方程根的個數(shù)．

（III）若，且對任意的，都有，求

實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ，當時，取等號;(Ⅱ) 當時，即時，方程有2個相異的根；當 或時，方程有1個根；當時，方程有0個根;(Ⅲ)

【解析】試題分析：（I）把代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)的導函數(shù)，由導函數(shù)的零點把給出的定義[1，e]分段，判出在各段內(nèi)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)在[1，e]上的最大值及相應(yīng)的x值；
（II）方程根的個數(shù)等價于時，方程根的個數(shù), 設(shè)=，求導話簡圖，利用數(shù)形結(jié)合討論即可得解；
（III）a>0， 等價于，原題等價于函數(shù)在時是減函數(shù)， 恒成立，即在時恒成立，進而求函數(shù)最值即可.

試題解析：

（I），

當時， ，所以單調(diào)遞減；

當時， ，所以單調(diào)遞增.

又，

故，當時，取等號.

（II）易知，故，方程根的個數(shù)等價于時，方程根的個數(shù)。

設(shè)=，

當時， ，函數(shù)遞減，當時， ，函數(shù)遞增。又， ，作出與直線的圖像，

由圖像知：

當時，即時，方程有2個相異的根；

當 或時，方程有1個根；

當時，方程有0個根;

（III）當時， 在時是增函數(shù)，又函數(shù)是減函數(shù)，不妨設(shè)，則等價于

即，故原題等價于函數(shù)在時是減函數(shù)，

恒成立，即在時恒成立。

在時是減函數(shù)，所以.

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