Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，N為圓A：（x+1）²+y²=16上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B（1，0），點(diǎn)M是BN中點(diǎn)，點(diǎn)P在線(xiàn)段AN上，且
（I）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（II）試判斷以PB為直徑的圓與圓x²+y²=4的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題設(shè)，依據(jù)橢圓定義知，點(diǎn)P的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，依橢圓定義寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）求出兩圓的圓心距以及兩圓的半徑，根據(jù)兩圓的位置關(guān)系判斷即得，兩圓的位置關(guān)系有五種，應(yīng)根據(jù)條件判斷出應(yīng)是那一種．
解答：解：（I）由點(diǎn)M是BN中點(diǎn)，又=0，
可知PM垂直平分BN．所以|PN|=|PB|，又|PA|+|PN|=|AN|，
所以|PA|+|PB|=4．
由橢圓定義知，點(diǎn)P的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓．
如圖焦點(diǎn)在x軸上，
由2a=4，2c=2，可得a²=4，b²=3．
可知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡方程為=1   （6分）
（II）解：設(shè)點(diǎn)P（x，y），PB的中點(diǎn)為Q，，則Q（），
|PB|====2-x，
即以PB為直徑的圓的圓心為Q（），，半徑為1-x，，
又圓x²+y²=4的圓心為O（0，0），半徑r₂=2，
又|OQ|===1+
故|OQ|=r₂-r₁，即兩圓內(nèi)切．（13分）
點(diǎn)評(píng)：考查橢圓的定義法求橢圓的方程以及兩圓的位置關(guān)系的判斷．考查基礎(chǔ)知識(shí)的題型．