【題目】已知函數(shù)

的單調區(qū)間和極值;

時,證明:對任意的,函數(shù)有且只有一個零點.

【答案】(1)見解析;(2)見解析

【解析】

1)先求得導函數(shù),根據(jù)導數(shù)對a分類討論即可判斷單調區(qū)間和極值的情況。

2)把a=1代入函數(shù),去證明函數(shù)只有1個零點,轉化為證明方程只有1個正實數(shù)根。通過分離參數(shù)k,研究新函數(shù)的導數(shù),根據(jù)導數(shù)的單調性討論在a的不同取值時的情況即可。

解:函數(shù)的定義域為,,

時,,在定義域上單調遞增,無極值;

時,由,得

時,,得的單調遞增區(qū)間是;

時,,得的單調遞減區(qū)間是,

的極大值為無極小值.

證明:當時,函數(shù),

欲證對任意的,函數(shù)有且只有一個零點,

即證方程有且只有一個正實數(shù)根,

,得

,則,

,則,

,得,

時,,則上單調遞增;

時,,則上單調遞減,

所以,

于是,則上單調遞減.

,則,由,得

時,,則上單調遞減;

時,,則上單調遞增,

所以,即當時,,

所以當時,,

對任意的,有

時,,有;

時,有,

上單調遞減,所以存在唯一的,有;

時,,有,

時,有

上單調遞減,所以存在唯一的,有,

綜上所述,對任意的,方程有且只有一個正實數(shù)根,

即函數(shù)有且只有一個零點.

練習冊系列答案
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一般關注

強烈關注

合計

45

10

55

合計

100

(1)在答題卡上補全列聯(lián)表中數(shù)據(jù);并判斷能否有95%的把握認為網(wǎng)友對此事件是否為“強烈關注”與性別有關?

(2)現(xiàn)已從“強烈關注”的網(wǎng)友中按性別分層抽樣選取了5人,再從這5人中選取2人,求這2人中至少有1名女性的概率.

參考公式及數(shù)據(jù):,

0.05

0.010

3.841

6.635

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