Question

3．已知a∈R，函數(shù)f（x）=log₂（$\frac{1}{x}$+a）．
（1）當(dāng)a=5時(shí)，解不等式f（x）＞0；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-log₂[（a-4）x+2a-5]=0有且只有一解，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=5時(shí)，原不等式可化為：${log_2}（{\frac{1}{x}+5}）＞0$，解得答案；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-log₂[（a-4）x+2a-5]=0，可化為：（a-4）x²+（a-5）x-1=0，對(duì)a進(jìn)行分類討論，可得答案．

解答 解：（1）當(dāng)a=5時(shí)，由${log_2}（{\frac{1}{x}+5}）＞0$，得$\frac{1}{x}+5＞1$，
解得$x∈（{-∞，-\frac{1}{4}}）∪（{0，+∞}）$．-------------（5分）
（2）關(guān)于x的方程f（x）-log₂[（a-4）x+2a-5]=0，可化為：$\frac{1}{x}+a=（{a-4}）x+2a-5$，
即（a-4）x²+（a-5）x-1=0，
當(dāng)a=4時(shí)，x=-1，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意．
當(dāng)a=3時(shí)，x₁=x₂=-1，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意．
當(dāng)a≠3且a≠4時(shí)，${x_1}=\frac{1}{a-4}$，x₂=-1，x₁≠x₂．
x₁是原方程的解當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{1}{x_1}+a＞0$，即a＞2；
x₂是原方程的解當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{1}{x_2}+a＞0$，即a＞1．
于是滿足題意的a∈（1，2]．-----------（12分）
綜上，a的取值范圍為（1，2]∪{3，4}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用，分類討論思想，難度中檔．