已知函數(shù)f(x)=x+
2ax
（a為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，3）．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）寫出函數(shù)f（x）在[a，a+1]上的單調(diào)區(qū)間，并求函數(shù)f（x）在[a，a+1]上的值域．
分析：（1）只需要代入x=1即可得結(jié)果．
（2）首先要判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后利用單調(diào)性來解答函數(shù)治值域的問題，這是求函數(shù)值域的重要方法．利用定義求單調(diào)區(qū)間的時(shí)候，要注意x1，x2的任意性，本題中求單調(diào)區(qū)間需要分1≤x1＜x2≤
2
和-
2
≤x1＜x2≤2進(jìn)行討論．
解答：解：（1）由已知f(1)=1+
2a
1
=2a+1=3，得a=1；
    （2）有（1）知a=1，所以函數(shù)f(x)=x+
2
x
，
    在[1，2]上可設(shè)設(shè)1＜x1＜x2＜2，則
    f（x1）-f（x2）=（x1+
2
x1
）-（x2+
2
x2
）
=（x1-x2）+（
2
x1
-
2
x2
）
=（x1-x2）•
x1x2-2
x1x2

    因?yàn)?＜x1＜x2，所以x1-x2＜0，x1•x2＞0，
    當(dāng)1＜x1＜x2≤
2
時(shí)，x1•x2-2＜0，所以
x1x2-2
x1x2
＜0
    所以：f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）
    所以f（x）在（1，
2
]上是減函數(shù)．
    當(dāng)
2
≤x1＜x2＜2時(shí)，x1•x2-2＞0，所以
x1x2-2
x1x2
＞0
    所以：f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）
    所以f（x）在[
2
，2）上是增函數(shù)．
    因此函數(shù)f（x）在[a，a+1]即在[1，2]上的單調(diào)區(qū)間為：
    減區(qū)間為[1，
2
]，增區(qū)間為[
2
，2]．
    所以函數(shù)在[1，2]上的最小值為f（
2
）=2
2
，
    又因?yàn)閒（1）=3，f（2）=3，所以函數(shù)的值域是[2
2
，3]．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的解析式，函數(shù)值的求法，函數(shù)單調(diào)性以及利用函數(shù)單調(diào)性解答函數(shù)值域和最值的知識(shí)．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數(shù)，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在實(shí)數(shù)a，使g（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值為2，若存在，請(qǐng)求出a的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當(dāng)a=1，b=2時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對(duì)任意0＜a＜b恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)k、c＞0，當(dāng)a=k2，b=（k+c）2時(shí)，記f（x）=f1（x）；當(dāng)a=（k+c）2，b=（k+2c）2時(shí)，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：浙江省東陽中學(xué)高三10月階段性考試數(shù)學(xué)理科試題 題型：022

已知函數(shù)f(x)的圖像在[a，b]上連續(xù)不斷，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值，若存在最小正整數(shù)k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)對(duì)任意的x∈[a，b]成立，則稱函數(shù)f(x)為[a，b]上的“k階收縮函數(shù)”．已知函數(shù)f(x)＝x2，x∈[－1，4]為[－1，4]上的“k階收縮函數(shù)”，則k的值是_________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當(dāng)a=1，b=2時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對(duì)任意0＜a＜b恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)k、c＞0，當(dāng)a=k2，b=（k+c）2時(shí)，記f（x）=f1（x）；當(dāng)a=（k+c）2，b=（k+2c）2時(shí)，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2009-2010學(xué)年河南省許昌市長葛三高高三第七次考試數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

已知函數(shù)f（x）、g（x），下列說法正確的是（ ）
A．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，則f（x）+g（x）是奇函數(shù)
B．f（x）是偶函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）是偶函數(shù)
C．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
D．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

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