Question

下列四個命題中，真命題的是

 

（寫出所有正確的序號）．
①若f（x）=2f（2-x）-3x+2（x∈R），則f（x）在點P（1，f（1））處的切線方程為x+y-2=0；
②若對?n∈N^*，F(xiàn)（n）＞n+1可以推出F（n+1）＞n+2，那么F（5）≤6可以推出F（4）≤5；
③若a+b+c＞0，ab+bc+ac＞0，abc＞0，則a＞0，b＞0，c＞0；
④已知A（7，0），B（-7，0），C（2，-12），橢圓過A，B兩點且以C為其一個焦點，則橢圓的另一個焦點的軌跡為雙曲線；
⑤方程（x²+3y²-9）

x+y-1

=0表示的曲線是一條直線和一個橢圓．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,不等式的解法及應用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：①用2-x替換x得：f（2-x）=2f（x）-3（2-x）+2=2f（x）+3x-4，與已知聯(lián)立，可求得f（x）=2-x，
從而可求得f（x）在點P（1，f（1））處的切線方程，繼而可作出判斷；
②利用歸納推理，可判斷②正確；
③利用反證法可證得，結(jié)論成立；
④利用橢圓的定義，可判斷橢圓的另一個焦點的軌跡為雙曲線的左支，從而可知④的正誤；
⑤由x+y-1≥0，可知該方程表示的是直線y=1-x與其右側(cè)的橢圓（橢圓x²+3y²=9的一部分），從而可判斷其正誤．

解答： 解：①∵f（x）=2f（2-x）-3x+2，（1）
∴用2-x替換x得：f（2-x）=2f（x）-3（2-x）+2=2f（x）+3x-4，（2）
聯(lián)立（1）（2）得：f（x）=2-x，
∴f′（x）=-1，又f（1）=1，
∴f（x）在點P（1，f（1））處的切線方程為：y-1=（x-1），整理得：x+y-2=0，故①正確；
②對?n∈N^*，F(xiàn)（n）＞n+1可以推出F（n+1）＞n+2，那么F（5）≤6可以推出F（4）≤5，正確；
③正確，下面用反證法證明：
顯然a，b，c都不為0，
若a＜0，
則由abc＞0，有bc＜0，b，c異號，不妨設b＜0，c＞0，
∵a+b+c=-|a|-|b|+c＞0，∴|a|+|b|＜c；
又ab+bc+ac=|a||b|-|b|c-|a|c=|a||b|-（|a|+|b|）c＞0，
∴c＜

|a||b|

(|a|+|b|)

，
∴|a|+|b|＜c＜

|a||b|

(|a|+|b|)

，
即（|a|+|b|）²＜|a||b|，
∴a²+b²+|ab|＜0，這是不可能的．
∴假設錯誤，∴a＞0，同理b＞0，c＞0，故③正確；
④設另一個焦點D（x，y），則由橢圓定義知：AC+AD=BC+BD，
∵AC=15，BC=13，
∴BD-AD=AC-BC=2，
∴這是以AB為焦點的雙曲線的左支，其方程為：x²-

y2

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=1（x＜0），故④錯誤；
⑤方程（x²+3y²-9）

x+y-1

=0中，x+y-1≥0，
故該方程表示的是直線y=1-x與其右側(cè)的橢圓（橢圓x²+3y²=9的一部分），故⑤錯誤；
綜上所述，真命題的是①②③，
故答案為：①②③．

點評：本題考查求曲線的方程及切線方程，考查歸納推理、反證法、橢圓的概念及應用，考查綜合分析與運算求解能力，屬于難題．