Question

【題目】如圖，在中，，斜邊可以通過(guò)以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角是直二面角，動(dòng)點(diǎn)在斜邊上.

（1）當(dāng)D為AB的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線AO與CD所成角的正切值；

（2）求CD與平面AOB所成角的正切值的最大值.

Answer 1

【答案】(1)； (2).

【解析】

（1）求異面直線所成的角，需要將兩條異面直線平移交于一點(diǎn)，由為的中點(diǎn)，故平移時(shí)很容易應(yīng)聯(lián)想中位線，作，垂足為連接，則，是異面直線與所成的角，利用解三角形的有關(guān)知識(shí)夾角問(wèn)題即可；（2）本題的設(shè)問(wèn)是遞進(jìn)式的，求直線與平面所成的角，是與平面所成角，

，當(dāng)最小時(shí)，最大.

（1）作DE⊥OB，垂足為E，連接CE，所以DE∥AO，

∴∠CDE（或其補(bǔ)角）是異面直線AO與CD所成的角．

在中，，

∴，

又，所以，

∴在中， ，

所以異面直線AO與CD所成角的余弦值大小為.

（2）由（1）知，平面，

∴是與平面所成的角，并且，

當(dāng)最小時(shí)，最大，這時(shí)，，垂足為，

所以，∴，

所以與平面所成的角的最大時(shí)的正切值為.