(1)求動圓圓心的軌跡M的方程;
(2)設(shè)過點P,且斜率為-的直線與曲線M相交于A、B兩點.
①問:△ABC能否為正三角形?若能,求出點C的坐標;若不能,請說明理由.
②當(dāng)△ABC為鈍角三角形時,求這種點C的縱坐標的取值范圍.
解:設(shè)M(x,y),依題意有|MP|=|MN|,
所以|x+1|=.
化簡得y2=4x.
(2)①由題意得,
直線AB的方程為y=-(x-1).
由消去y,得3x2-10x+3=0.
解得 x1=,x2=3.
所以A點坐標為(,
),B點坐標為(3,-2
),|AB|=x1+x2+2=
.
假設(shè)存在點C(-1,y),使△ABC為正三角形,
則|BC|=|AB|且|AC|=|AB|,
即
由1°-2°整理得42+(y+2)2=(
)2+(y-
)2.
解得y=-.但y=-
不符合1°.
所以由1°、2°組成的方程組無解.
因此,直線l上不存在點C,使得△ABC是正三角形.
(2)以AB為直徑的圓的方程為(x-)2+(y+
)2=(
)2.
圓心(,-
)到直線l:x=-1的距離為
,
所以以AB為直徑的圓與直線l相切于點G(-1,-).
當(dāng)直線l上的C點與G重合時,∠ACB為直角,當(dāng)C與G點不重合,且A、B、C三點不共線時,∠ACB為銳角,即△ABC中,∠ACB不可能是鈍角.
因此,要使△ABC為鈍角三角形,只可能是∠CAB和∠CBA為鈍角.
過點A且與AB垂直的直線方程為
y-=
(x-
).
令x=-1,得y=.
過點B且與AB垂直的直線方程為y+2=
(x-3).
令x=-1,得y=-.
又由
解得y=2.
所以當(dāng)點C的坐標為(-1,2)時,A、B、C三點共線,不構(gòu)成三角形.
因此,當(dāng)△ABC為鈍角三角形時,
點C的縱坐標y的取值范圍是y<-或y>
(y≠2
).
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:044
(2007
江蘇淮陰)已知動圓過定點P(1,0),且與定直線l:x=-1相切,點C在l上.(1)
求動圓圓心的軌跡M的方程.(2)
設(shè)過點P,且斜率為①問:△
ABC能否為正三角形?若能,求點C的坐標;若不能,說明理由.②當(dāng)△
ABC為鈍角三角形時,求這時點C的縱坐標的取值范圍.查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:天驕之路中學(xué)系列 讀想用 高二數(shù)學(xué)(上) 題型:044
已知動圓過定點P(1,0)且與定直線l:x=-1相切,點C在l上.
(1)求動圓圓心軌跡M的方程;
(2)設(shè)過點P,且斜率為-的直線與曲線M相交于A、B兩點,
①問:△ABC能否為正三角形,若能,求點C的坐標,若不能,說明理由.
②當(dāng)△ABC為鈍角三角形時,求點C的縱坐標的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆廣東省高二第一學(xué)期期末考試文科數(shù)學(xué) 題型:解答題
(本題滿分14分)
已知動圓過定點P(1,0)且與定直線相切,點C在
上.
(Ⅰ)求動圓圓心M的軌跡方程;
(Ⅱ)設(shè)過點P且斜率為的直線與曲線交于A、B兩點.問直線
上是否存在點C ,使得
是以
為直角的直角三角形?如果存在,求出點C的坐標;若不能,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(1)求動圓圓心的軌跡M的方程;
(2)設(shè)過點P,且斜率為-的直線與曲線M相交于A、B兩點.
①△ABC能否為正三角形?若能,求點C的坐標;若不能,請說明理由.
②當(dāng)△ABC為鈍角三角形,求這時點C的縱坐標的取值范圍.
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