如圖：四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠ACB=90°，PA⊥平面ABCD，PA=BC=1，，F(xiàn)是BC的中點．
（Ⅰ） 求證：DA⊥平面PAC；
（Ⅱ）試在線段PD上確定一點G，使CG∥平面PAF；
（Ⅲ）求平面PAF與平面PCD所成銳二面角的余弦值．

【答案】分析：（Ⅰ）利用平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得AD⊥AC，再利用線面垂直的性質(zhì)可得PA⊥AC，利用線面垂直的判定定理即可證明；
（Ⅱ）分別以AC，AD，AP為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面PAF法向量，要CG∥平面PAF，可得，即可求得結(jié)論；
（Ⅲ）確定平面PCD法向量，利用向量的夾角公式，即可求平面PAF與平面PCD所成銳二面角的余弦值．
解答：（Ⅰ） 證明：∵四邊形是平行四邊形，∴∠ACB=∠DAC=90°，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DA，
又AC⊥DA，AC∩PA=A，∴DA⊥平面PAC．
（Ⅱ）解：分別以AC，AD，AP為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則
設(shè)G為PD上一點，使CG∥平面PAF，
令，
設(shè)平面PAF法向量為
∵
∴
∴可取平面PAF法向量，
要CG∥平面PAF，∴，解得．
∴G為PD中點時，CG∥平面PAF．
（Ⅲ）解：平面PCD法向量為
∵
∴
∴可取平面PCD法向量，
∴
∴所求二面角的余弦值為．
點評：本題考查線面垂直，考查線面平行，考查向量知識的運用，掌握線面垂直的判定定理，正確運用向量知識是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中點．求證：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且側(cè)面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一點E，使得二面角E-BD-A的大小為45°，若存在，試求
AE
AP
的值，若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點F是PB中點．
（Ⅰ）若E為BC中點，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，設(shè)PC與AD的夾角為θ．
（1）求點A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大��；當(dāng)平面ABCD內(nèi)有一個動點Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，求動點Q的軌跡方程．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案