Question

如圖a所示，正△ABC的邊長為2，CD是AB邊上的高，E、F分別是AC和BC邊的中點．現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A―DC―B，如圖b所示．

(1)試判斷翻折后直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)求二面角B―AC―D的大��；

(3)求點C到平面DEF的距離．

Answer 1

解法一：(1)在△ABC中，∵E、F分為AC、BC中點．∴EF//AB。

    又AB平面DEF，EF平面DEF，∴AB∥平面DEF．

(2)過D作DG⊥AC于G，連接BG．

    ∵AD⊥CD，BD⊥CE，

    ∴∠ADB是二面角A―CD―B的平面角．

    ∴∠ADB=90°，即BD⊥AD．

    ∴BD⊥平面ADC．∴BG⊥AC．

    ∴∠BGD是二面角B―AC―D的平面角

   在Rt△ADC中，AD=，BC=，AC=2．

   ∴DG=．

   在Rt△BDG中，tan∠BGD=

   ∴∠BGD=arctan．

   即二面角B―AC―D的大小為arctan．

    (3)過E作EH⊥DC于H．

    ∵BD⊥平面ADC，又EH平面ADC，

∴BD⊥EH，∴EH⊥平面BCD．

∵EH= AD=，S_△CDF=S_△BCD=，

cos∠EDF=，

sin∠EDF=．

S_△DEF=DE?DF?sin∠EDF=．

設(shè)點C到平面DEF的距離為h．

∴V_C-DEF=V_E-CDF，

∴，

即，．故點C到平面DEF的距離為．

解法二：(1)如圖所示，建立空間直角坐標系O―,

則D(0，0，0)，A(0，0，)，B(，0，0)，

C(0，，0)，E(0，，)，F(xiàn)(，，0)，

∴，．

    ∴，∴

∴AB//EF，且EF平面DEF．

∴AB∥平面DEF．

(2)∵為平面ACD的一個法向量，

設(shè)n=(，，z)為平面ABC的一個法向量，則

    ，取，

∴n=(1，，1)

∴．

∴二面角B―AC―D的大小為．

(3)設(shè)m=(，，z)為平面DFE的一個法向量，則

    取=1，則．

    ∴m=(，1，)．

    

    ∴點C到平面DEF的距離為

    d=

    =

    =