如圖,在四棱錐中,平面
平面
.
(1)證明:平面
;
(2)求二面角的大小
(1)詳見(jiàn)解析;(2)二面角的大小是
.
解析試題分析:(1)求證:平面
,證明線面垂直,先證線線垂直,即證線和平面內(nèi)兩條相交直線垂直,由已知可得
,只需證明
,或
,由已知平面
平面
,只需證明
,就得
平面
,即
,而由已知
,在直角梯形
中,易求
,從而滿足
,即得
,問(wèn)題得證;(2)求二面角
的大小,可用傳統(tǒng)方法,也可用向量法,用傳統(tǒng)方法,關(guān)鍵是找二面角的平面角,可利用三垂線定理來(lái)找,但本題不存在利用三垂線定理的條件,因此利用垂面法,即作
,與
交于點(diǎn)
,過(guò)點(diǎn)
作
,與
交于點(diǎn)
,連結(jié)
,由(1)知,
,則
,,所以
是二面角
的平面角,求出
的三條邊,利用余弦定理,即可求出二面角
的大小,用向量法,首先建立空間坐標(biāo)系,先找三條兩兩垂直的直線作為坐標(biāo)軸,觀察幾何圖形可知,以
為原點(diǎn),分別以射線
為
軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系
,寫(xiě)出個(gè)點(diǎn)坐標(biāo),設(shè)出設(shè)平面
的法向量為
,平面
的法向量為
,求出它們的一個(gè)法向量,利用法向量的夾角與二面角的關(guān)系,即可求出二面角
的大。
(1)在直角梯形中,由
,
得,
,由
,則
,即
,又平面
平面
,從而
平面
,所以
,又
,從而
平面
;
(2)方法一:作,與
交于點(diǎn)
,過(guò)點(diǎn)
作
,與
交于點(diǎn)
,連結(jié)
,由(1)知,
,則
,,所以
是二面角
的平面角,在直角梯形
中,由
,得
,又平面
平面
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,平面ABCD⊥平面ADEF,其中ABCD為矩形,ADEF為梯形,AF∥DE,AF⊥FE,AF=AD=2DE=2,M為AD的中點(diǎn).
(1)證明:MF⊥BD;
(2)若二面角A-BF-D的平面角的余弦值為,求AB的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在棱長(zhǎng)為2的正方體中,
分別是棱
的中點(diǎn),點(diǎn)
分別在棱
,
上移動(dòng),且
.
當(dāng)時(shí),證明:直線
平面
;
是否存在,使平面
與面
所成的二面角為直二面角?若存在,求出
的值;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,四邊形是正方形,
平面
,
,
,
,
,
分別為
,
,
的中點(diǎn).
(1)求證:平面
;
(2)求平面與平面
所成銳二面角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐中,底面
是直角梯形,
,
,
平面平面
,若
,
,
,
,且
.
(1)求證:平面
;
(2)設(shè)平面與平面
所成二面角的大小為
,求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(2013•湖北)如圖,AB是圓O的直徑,點(diǎn)C是圓O上異于A,B的點(diǎn),直線PC⊥平面ABC,E,F(xiàn)分別是PA,PC的中點(diǎn).
(1)記平面BEF與平面ABC的交線為l,試判斷直線l與平面PAC的位置關(guān)系,并加以證明;
(2)設(shè)(1)中的直線l與圓O的另一個(gè)交點(diǎn)為D,且點(diǎn)Q滿足.記直線PQ與平面ABC所成的角為θ,異面直線PQ與EF所成的角為α,二面角E﹣l﹣C的大小為β.求證:sinθ=sinαsinβ.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,是以
為直徑的半圓
上異于
、
的點(diǎn),矩形
所在的平面垂直于半圓
所在的平面,且
.
(1)求證:;
(2)若異面直線和
所成的角為
,求平面
與平面
所成的銳二面角的余弦值.
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