如圖,是以為直徑的半圓上異于、的點(diǎn),矩形所在的平面垂直于半圓所在的平面,且.

(1)求證:;
(2)若異面直線所成的角為,求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

(1)證明過(guò)程詳見(jiàn)解析;(2).

解析試題分析:本題主要考查線線垂直、線面垂直、面面垂直、二面角、向量法等基礎(chǔ)知識(shí),考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力和計(jì)算能力.第一問(wèn),先利用面面垂直的性質(zhì)得到線面垂直垂直于圓所在的平面,再利用線面垂直的性質(zhì)得到,而在圓內(nèi)AB為直徑,所以,利用線面垂直的判定得平面,最后利用線面垂直的性質(zhì)得到結(jié)論;第二問(wèn),利用向量法,先根據(jù)已知條件中的垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系,得到有關(guān)點(diǎn)及向量的坐標(biāo),利用向量法中的公式,求出平面DCE和平面AEB的法向量,再利用夾角公式求夾角的余弦值.
試題解析:(1)∵平面垂直于圓所在的平面,兩平面的交線為,平面,,∴垂直于圓所在的平面.又在圓所在的平面內(nèi),∴.∵是直角,∴,∴平面,∴.    6分
(2)如圖,

以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),所在的直線為軸,過(guò)點(diǎn)平行的直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系.由異面直線所成的角為,,
,∴,由題設(shè)可知,,∴.設(shè)平面的一個(gè)法向量為,
,,取,得.
.又平面的一個(gè)法向量為,∴.
平面與平面所成的銳二面角的余弦值.    13分
(其他解法可參考給分)
考點(diǎn):線線垂直、線面垂直、面面垂直、二面角、向量法.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,在四棱錐中,平面平面.
(1)證明:平面;
(2)求二面角的大小

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,在三棱錐中,直線平面,且
,又點(diǎn),分別是線段,,的中點(diǎn),且點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn).
證明:直線平面;
(2) 若,求二面角的平面角的余弦值.

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如圖,在三棱錐中,直線平面,且
,又點(diǎn),,分別是線段,,的中點(diǎn),且點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn).

(1)證明:直線平面;
(2)若,求二面角的平面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如下圖,在四棱柱中,底面和側(cè)面
是矩形,的中點(diǎn),,.
(1)求證:
(2)求證:平面
(3)若平面與平面所成的銳二面角的大小為,求線段的長(zhǎng)度.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中,D,E分別是AB,AC邊上的點(diǎn),AD=AEFBC的中點(diǎn),AFDE交于點(diǎn)G,將沿AF折起,得到如圖所示的三棱錐,其中.

(1) 證明://平面;
(2) 證明:平面;
(3)當(dāng)時(shí),求三棱錐的體積

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,三棱錐中,,,點(diǎn)在平面內(nèi)的射影恰為的重心,M為側(cè)棱上一動(dòng)點(diǎn).

(1)求證:平面平面;
(2)當(dāng)M為的中點(diǎn)時(shí),求直線與平面所成角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,在斜三棱柱中,O是AC的中點(diǎn),平面,,.

(1)求證:平面;
(2)求二面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

在直角梯形中,,,如圖,把沿翻折,使得平面平面

(1)求證:;
(2)若點(diǎn)為線段中點(diǎn),求點(diǎn)到平面的距離;
(3)在線段上是否存在點(diǎn),使得與平面所成角為?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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