Question

設(shè)函數(shù)f（x）=xe^x，g（x）=ax²+x．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）≥g（x）在[0，+∞）上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間；
（2）令h（x）=x（e^x-1-ax），令m（x）=（e^x-1-ax），x∈[0，+∞），由此利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)m（x）的單調(diào)性，即能求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=xe^x，的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=e^x+xe^x=（x+1）•e^x，
令f′（x）＞0，解得，x＞-1；令f′（x）＜0，解得，x＜-1．
則f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-1，+∞）；單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-1）．
（2）h（x）=f（x）-g（x）═x（e^x-1-ax），
令m（x）=e^x-1-ax，x∈[0，+∞），
m'（x）=e^x-a，m（0）=0
當(dāng)a≤1時(shí)，m'（x）=e^x-a＞0，m（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，
而m（0）=0，從而當(dāng)x≥0時(shí)，h（x）≥0恒成立．
當(dāng)a＞1時(shí)，令m'（x）=e^x-a=0，得x=lna．
當(dāng)x∈（0，lna）時(shí)，m'（x）＜0，
m（x）在（0，lna）上是減函數(shù)，
而m（0）=0，從而當(dāng)x∈（0，lna）時(shí)，m（x）＜0，即h（x）＜0
綜上，a的取值范圍是（-∞，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)單調(diào)性的運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．