Question

集合A={（x，y）|y=1-

4-x2

}，B={（x，y）|y=x+m}，若A∩B為單元素集，則m的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：交集及其運(yùn)算

專題：直線與圓

分析：根據(jù)方程y=1-

4-x2

得-1≤y≤1，并且該方程可變成x²+（y-1）²=4（-1≤y≤1），所以該方程表示以（0，1）為圓心，以2為半徑的圓位于直線y=1下方的部分．而方程y=x+m表示斜率為1，在y軸上的截距為m的直線，由圖象可以看出該直線的范圍：在點(diǎn)（-2，1），（2，1）之間，所以將這兩點(diǎn)帶人直線方程即可求出m，從而求出m的范圍．

解答： 解：由y=1-

4-x2

知0≤

4-x2

≤2，∴-2≤-

4-x2

≤0，-1≤1-

4-x2

≤1，即-1≤y≤1；
并且將該方程可變成：x²+（y-1）²=4（-1≤y≤1），∴該方程表示以（0，1）為圓心，2為半徑的圓，并且是在y=1下方的部分；
y=x+m表示斜率為1，在y軸上的截距為m的直線，如下圖所示：
若A∩B為單元素集，則直線和y=1下方的圓只有一個(gè)交點(diǎn)；
由圖可以看出直線的范圍在點(diǎn)（-2，1），（2，1）之間，并含點(diǎn)（-2，1），不含點(diǎn)（2，1）；
∴分別將點(diǎn)（-2，1），（2，1）帶入直線方程得m=3，-1；
∴m的取值范圍為（-1，3]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程，直線的方程，及交集為單元素集反應(yīng)在圖形上的含義，以及數(shù)形結(jié)合的方法．