Question

已知點(diǎn)M（-3，0），N（3，0），B（1，0），圓C與直線MN切于點(diǎn)B，過M、N與圓C相切的兩直線相交于點(diǎn)P，則P點(diǎn)的軌跡方程為

 

．

Answer 1

分析：PM，PN分別與圓C相切于R、Q，根據(jù)圓的切線長定理，能夠推導(dǎo)出PM-PN=QM-RN=MB-NB=2＜MN，因此點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)的雙曲線．再根據(jù)題條件能夠求出P點(diǎn)的軌跡方程．

解答：解：由已知，設(shè)PM，PN分別與圓C相切于R、Q，
根據(jù)圓的切線長定理，有PQ=PR，MQ=MB，NR=NB；
∴PM-PN=QM-RN=MB-NB=2＜MN
∴點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)的雙曲線，
由于M、N兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，且在x軸上，
故其方程可設(shè)為標(biāo)準(zhǔn)方程：

x2

a2

-

y2

b2

 =1，
∵點(diǎn)M（-3，0），N（3，0），PM-PN=QM-RN=MB-NB=2，
∴c=3，a=1，所以b²=8
∴點(diǎn)P的軌跡方程為：x2-

y2

8

=1．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的基本性質(zhì)和圓的切線長定理，解題時要注意審題．