Question

9．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₃=S₃=3．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若{b_n-a_n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）由已知條件利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出等差數(shù)列{a_n}的{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由{b_n-a_n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，求出b_n=2^n-1+2n+3，由此利用分組和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

解答 解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₃=S₃=3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=3}\\{3{a}_{1}+\frac{3（3-1）}{2}d=3}\end{array}\right.$，
解得a₁=-1，d=2，
∴a_n=-1+（n-1）×2=2n-3．
（2）∵{b_n-a_n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，
∴b_n-a_n=b_n-2n+3=2^n-1，
∴b_n=2^n-1+2n+3，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和：
S_n=（1+2+2²+…+2^n-1）+2（1+2+3+…+n）+3×n
=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$+2×$\frac{1+n}{2}$+3n
=2ⁿ+4n．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)和分組求和法的合理運(yùn)用．