Question

19．設(shè)O為△ABC的外心（三角形外接圓的心），若$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|²，則$\frac{AC}{AB}$=（　�。�

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用三角形的外心，得到$|\overrightarrow{AO}|=|\overrightarrow{BO}|=|\overrightarrow{CO|}$，$\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{AC}$兩式平方相減化簡，得到2$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{CB}={\overrightarrow{AB}}^{2}-{\overrightarrow{AC}}^{2}$，又$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|²，得到AB，AC的關(guān)系

解答 解：因為O是三角形的外心，所以$|\overrightarrow{AO}|=|\overrightarrow{BO}|=|\overrightarrow{CO|}$，
$\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{AC}$，兩式平方相減得2$\overrightarrow{AO}•（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}）={\overrightarrow{AB}}^{2}-{\overrightarrow{AC}}^{2}$，即2$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{CB}={\overrightarrow{AB}}^{2}-{\overrightarrow{AC}}^{2}$，
又$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|²，所以2${\overrightarrow{AB}}^{2}={\overrightarrow{AC}}^{2}$，所以$\frac{AC}{AB}=\sqrt{2}$；
故選：B．

點評 本題考查了三角形外心性質(zhì)以及向量數(shù)量積等運算；考查學(xué)生的運算能力；屬于中檔題．