Question

10．設函數(shù)f（x）=x²-（3k+2^k）x+3k•2^k，x∈R；
（1）若f（1）≤0，求實數(shù)k的取值范圍；
（2）若k為正整數(shù)，設f（x）≤0的解集為[a_2k-1，a_2k]，求a₁+a₂+a₃+a₄及數(shù)列{a_n}的前2n項和S_2n；
（3）對于（2）中的數(shù)列{a_n}，設${b_n}=\frac{{{{（-1）}^n}}}{{{a_{2n-1}}{a_{2n}}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n的最大值．

Answer 1

分析 （1）由f（1）≤0，可得1-（3k+2^k）+3k•2^k≤0，化為：（2^k-1）（3k-1）≤0，解出即可得出實數(shù)k的取值范圍．
（2）x²-（3k+2^k）x+3k•2^k≤0，化為（x-3k）（x-2^k）≤0，由于k為正整數(shù)，設f（x）≤0的解集為[a_2k-1，a_2k]，可得：當k=1時，2≤x≤3，a₁=2，a₂=3．當k=2時，4≤x≤6，a₃=4，a₄=6．當k=3時，8≤x≤9，a₅=8，a₆=9．當k=4時，12≤x≤16，a₇=12，a₈=16．當k≥5時，2^k=（1+1）^k＞3k．可得a_2k-1=3k，a_2k=2^k．（k=4時也成立）．即可得出數(shù)列{a_n}的前2n項和S_2n．
（3）對于（2）中的數(shù)列{a_n}，${b_n}=\frac{{{{（-1）}^n}}}{{{a_{2n-1}}{a_{2n}}}}$=$\frac{（-1）^{n}}{3n•{2}^{n}}$．可得：T₁=$-\frac{1}{6}$，T₂=$-\frac{1}{8}$，…，T_2n+1＜T_2n，而T_2n≤T₂，
即可得出．

解答 解：（1）∵f（1）≤0，∴1-（3k+2^k）+3k•2^k≤0，
化為：（2^k-1）（3k-1）≤0，∴$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{k}-1≤0}\\{3k-1≥0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{k}-1≥0}\\{3k-1≤0}\end{array}\right.$．
解得k∈∅，或$0≤k≤\frac{1}{3}$．
∴實數(shù)k的取值范圍時$[0，\frac{1}{3}]$．
（2）x²-（3k+2^k）x+3k•2^k≤0，化為（x-3k）（x-2^k）≤0，
∵k為正整數(shù)，設f（x）≤0的解集為[a_2k-1，a_2k]，
∴當k=1時，2≤x≤3，∴a₁=2，a₂=3．
當k=2時，4≤x≤6，∴a₃=4，a₄=6．
當k=3時，8≤x≤9，∴a₅=8，a₆=9．
當k=4時，12≤x≤16，∴a₇=12，a₈=16．
當k≥5時，2^k=（1+1）^k≥2（1+${∁}_{k}^{1}$+${∁}_{k}^{2}$）=k²+k+2＞3k．
∴a_2k-1=3k，a_2k=2^k．（k=4時也成立）．
∴a₁+a₂+a₃+a₄=2+3+4+6=15．
n≥4時，數(shù)列{a_n}的前2n項和S_2n=a₁+a₂+…+a₈+a₉+a₁₀+…+a_2n-1+a_2n
=15+8+9+12+16+3（5+6+…+n）+（2⁵+2⁶+…+2ⁿ）
=60+3×$\frac{（n-4）（5+n）}{2}$+$\frac{32（{2}^{n-4}-1）}{2-1}$
=$\frac{3}{2}{n}^{2}$+$\frac{3}{2}$n-2+2ⁿ⁺¹．
經(jīng)過驗證，n=1，2，3時也成立．
∴S_2n=$\frac{3}{2}{n}^{2}$+$\frac{3}{2}$n-2+2ⁿ⁺¹．
（3）對于（2）中的數(shù)列{a_n}，${b_n}=\frac{{{{（-1）}^n}}}{{{a_{2n-1}}{a_{2n}}}}$=$\frac{（-1）^{n}}{3n•{2}^{n}}$．
∴b₁=-$\frac{1}{6}$，b₂=$\frac{1}{24}$，b₃=-$\frac{1}{72}$，b₄=$\frac{1}{192}$，…，
則T₁=$-\frac{1}{6}$，T₂=$-\frac{1}{8}$，…，T_2n+1＜T_2n，
而T_2n≤T₂，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和T_n的最大值為$-\frac{1}{8}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義通項公式及其求和公式，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題．