Question

【題目】已知F為拋物線的焦點，過點F的直線交拋物線于A，B兩點，其中A在x軸上方，O是坐標原點，若，，則以AB為直徑的圓的標準方程為____．

Answer 1

【答案】

【解析】

解法一：如圖，過點，分別作拋物線的準線的垂線，垂足分別為，，過作于點，由拋物線的定義算出，，則可推出

，又，得，從而確定拋物線的解析式及直線的解析式，最后聯(lián)立直線與拋物線的方程，由根與系數(shù)關(guān)系及弦長公式求得所求圓的圓心和半徑，進而求出圓的方程；

解法二：如圖，過點分別作拋物線的準線的垂線，垂足分別為，過作于點，由拋物線的定義算出，，則，求出直線的斜率，然后借助點到直線的距離公式及三角形面積公式求得的值，從而確定拋物線的解析式及直線的解析式，最后聯(lián)立直線與拋物線的方程，求得所求圓的圓心和半徑，進而求出圓的方程．

解法一：

如圖，過點，分別作拋物線的準線的垂線，垂足分別為，，過作于點，

∵，∴由拋物線的定義可得，

∴，

∵，

又，

∴，得易知，

∴直線的傾斜角為60°，∴直線的方程為，代入拋物線的方程，得．設，，則，

∴以為直徑的圓的標準方程為．

解法二：

如圖，過點分別作拋物線的準線的垂線，垂足分別為，過作于點，

∵，∴由拋物線的定義可得，

∴，

在中，，∴，

∴直線的斜率，直線的方程為，

∵原點到直線的距離，且，

∴，∴直線的方程為，代入拋物線的方程，

得，

設，則，

∴以為直徑的圓的標準方程為．

故答案為：