Question

【題目】記數(shù)列的前n項和為，已知，.

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）設(shè)，記數(shù)列的前n項和為，求證：.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析；

【解析】

（1）當(dāng)時根據(jù)公式，代入進(jìn)行計算并加以轉(zhuǎn)化可得，方法一：利用累乘法，可得，即可求出結(jié)果；方法二：由，可得，所以數(shù)列 是一個常數(shù)列，進(jìn)而可計算出數(shù)列的通項公式；

（2）根據(jù)第（1）題的結(jié)果計算出數(shù)列的通項公式，然后將通項公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化可發(fā)現(xiàn)數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式寫出的表達(dá)式，同時可得與的表達(dá)式，然后運用作差法代入計算可證明不等式成立．

解：(1)(法一)

∵，即，

∴，

∴.

∴，即，

∴

又也滿足上式，

∴.

(法二)∵，即，

∴

∴

∴，即，

∴，

∴是以為首項的常數(shù)列，

∴.

(2)由(1)知，

.

∴，即.